Dasar-Dasar Matematika untuk Faraid

Dasar-Dasar Matematika untuk Faraid

Pada bab ini Anda akan mempelajari:

·        Operasi Matematika Dasar

-         Mengenal Angka

-         Penjumlahan

-         Pengurangan

-         Perkalian

-         Pembagian

-         Penggabungan Operasi Matematika

·        Operasi Bilangan Pecahan

-         Penjumlahan Bilangan Pecahan

-         Pengurangan Bilangan Pecahan

-         Perkalian Bilangan Pecahan

-         Pembagian Bilangan Pecahan

-         Gabungan Operasi Matematika pada Bilangan Pecahan

·        Pembulatan Terkecil pada Bilangan Pecahan

·        Contoh-contoh Soal dan Jawabannya

Dasar-dasar matematika ini sengaja saya sertakan pada pelajaran ilmu faraid, disebabkan hampir sebagian besar perhitungan warisan ini memerlukan pengetahuan dasar akan ilmu matematika. Mungkin diantara pembaca sudah banyak yang mengenal dan memahami dasar matematika yang akan dibahas ini, namun bagi pembaca yang belum memahami matematika dasar, atau mungkin sudah lupa karena memang pelajaran matematika ini dipelajari ketika kita masih di SD (sekolah dasar) dulu, maka Insya Allah pembahasan dasar-dasar matematika ini akan berguna untuk dipelajari kembali sebagai pengingat kita.

Dasar-dasar matematika untuk faraid ini saya bagi menjadi dua bahasan utama, yaitu:

-         Operasi Matematika Dasar

-         Operasi Bilangan Pecahan

Operasi Matematika Dasar

Pada pembahasan operasi matematika dasar ini, saya membagi lagi menjadi beberapa sub bahasan sebagai berikut:

-         Mengenal Angka

-         Penjumlahan

-         Pengurangan

-         Perkalian

-         Pembagian

-         Penggabungan Operasi Matematika

Mengenal Angka

Angka adalah suatu nilai atau object utama dalam suatu perhitungan, dimana tanpa angka ini tidak mungkin terjadi suatu operasi matematika. Terdapat sepuluh angka dasar yang wajib diketahui, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Maha Suci Allah dan Maha Besar Allah, dari sepuluh angka-angka inilah dapat terjadi suatu operasi matematika yang sangat kompleks. Dari sepuluh angka-angka ini dapat terwujud menjadi bilangan positi, negatif, pecahan atau desimal, nilai uang, dan lain sebagainya.

Penjumlahan

Penjumlahan merupakan operasi matematika yang menjumlahkan suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi penjumlahan adalah tanda plus ( + ).

Contoh:

3 + 7 = 10

Pengurangan

Pengurangan merupakan operasi matematika yang mengurangkan suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi pengurangan adalah tanda minus ( - ).

Contoh:

11 – 1 = 10

Perkalian

Perkalian merupakan operasi matematika yang mengalikan suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi perkalian adalah tanda silang ( x ).

Contoh:

2 x 5 = 10

Pembagian

Pembagian merupakan operasi matematika yang membagi suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi pembagian adalah tanda titik dua ( : ) atau ( ÷ ). Selain tanda titik dua, seringkali operasi pembagian ini menggunakan simbol garis miring ( / ) atau garis tengah ( _ ).

Contoh:

100 : 10 = 10

100 ÷ 10 = 10

100 / 10 = 10

Penggabungan Operasi Matematika

Selain ke empat operasi matematika diatas (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian), terdapat pula operasi matematika lainnya yang juga umum dilakukan, yaitu penggabungan dari ke empat operasi matematika tersebut. Operasi matematika jenis ini harus mengikuti persyaratan sebagai berikut:

1.      Operasi matematika yang perhitungannya didahulukan adalah operasi matematika yang diawali dengan tanda kurung buka “(“ dan dan diakhiri dengan tanda kurung tutup “)”, dimana diawali dengan tanda kurung yang terletak di bilangan yang paling dalam.

2.      Kemudian setelah itu operasi perkalian dan pembagian, dengan urutan dari paling awal atau dari kiri  ke kanan.

3.      Kemudian yang terakhir adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, dengan urutan dari paling awal atau dari kiri  ke kanan.

Contoh:

Berapakah hasil dari operasi matematika sebagai berikut: 1 + 2 × (3 + (5 - 1)) : 7 – 2 ?

Jawaban:

= 1 + 2 × (3 + (5 - 1)) : 7 – 2

= 1 + 2 × (3 + 4) : 7 – 2

= 1 + 2 × 7 : 7 – 2

= 1 + 14 : 7 – 2

= 1 + 2 – 2

= 3 – 2

= 1

Operasi Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan merupakan bilangan yang terdiri dari dua bagian angka, yaitu angka sebagai pembilang (numerator) dan angka sebagai pembagi (denominator) dimana kedua bagian angka ini dipisahkan dengan simbol garis miring ( / ). Didalam ilmu faraid, pembagi ini seringkali disebut sebagai asal masalah atau pokok masalah. Format penulisan bilangan pecahan adalah sebagai berikut : A/B , dimana “A” adalah pembilang dan “B” adalah pembagi. Terkadang format penulisan ini menggunakan tanda garis bawah ( _ ), seperti:

Cara membaca bilangan pecahan ini adalah dengan menggunakan kata “per”, jadi bilangan pecahan pada contoh diatas dibaca “A per B”. Khusus untuk nilai pembilangnya 1, maka umumnya dibaca dengan kata depan “seper”. Jadi jika ada bilangan pecahan “1/3” maka ia dapat dibaca “sepertiga” atau bisa juga dibaca “satu per tiga”. Juga khusus untuk bilangan pecahan 1/2, selain dapat dibaca dengan kata “seperdua” atau “satu per dua”, seringkali ia dibaca juga dengan kata “separo”, “separuh”, atau “setengah”.

Satu hal yang harus diperhatikan adalah bilangan pecahan ini sebenarnya menggunakan operasi matematika pembagian sebagaimana yang sudah saya bahas pada sub bab sebelumnya. Jadi jika ada bilangan pecahan  4/2 maka hasilnya adalah 2 karena 4 : 2 = 2.  Lalu mengapa bilangan pecahan disini tidak langsung ditulis saja dengan tanda titik dua (:) ? Sebenarnya hal ini tidak mengapa jika hendak ditulis demikian, namun penggunaan simbol titik dua ini umumnya digunakan untuk operasi matematika yang memerlukan hasil langsung, sedangkan bilangan pecahan tidak bersifat demikian, karena ia umumnya digunakan untuk dikalkulasi atau dihitung dengan operasi matematika lainnya. Contoh, jika ada bilangan pecahan 1/2 maka kita tidak perlu membagi dahulu secara langsung nilai 1 dengan nilai 2, cukup ditulis saja 1/2 , kelak ia akan berguna ketika disertakan didalam operasi matematika lainnya, atau bisa juga diterapkan untuk mengetahui bagian tertentu dari suatu object.

Contoh, 1/2 bagian dari sebuah persegi empat adalah sebagai berikut:

Contoh lainnya, 1/3 bagian dari sebuah lingkaran adalah sebagai berikut:

Terdapat lima operasi bilangan pecahan yang umum dilakukan, yaitu:

-         Penjumlahan Bilangan Pecahan

-         Pengurangan Bilangan Pecahan

-         Perkalian Bilangan Pecahan

-         Pembagian Bilangan Pecahan

-         Gabungan Operasi Matematika pada Bilangan Pecahan

Penjumlahan Bilangan Pecahan

Dalam menjumlahkan bilangan pecahan, maka semua pembagi nya harus bernilai sama dahulu. Jika pembaginya tidak bernilai sama, maka harus menggunakan nilai pembagi baru yang dapat dibagi oleh semua pembagi awal tanpa menghasilkan sisa. Untuk menyamakan pembagi baru ini, harap menggunakan kelipatan persekutuan terkecil (KPK), yaitu nilai terkecil yang dapat digunakan untuk mengalikan pembagi awal, sehingga didapatkan pembagi baru terkecil yang dapat dibagi oleh semua pembagi awal yang ada tanpa sisa. Contoh, ketika terdapat dua pembagi, pembagi yang satu bernilai 9, dan pembagi yang lain bernilai 6, dimana kedua bilangan pecahan tersebut hendak dijumlahkan, maka pembagi baru yang dapat digunakan adalah 18, karena angka 18 merupakan nilai terkecil yang dapat dibagi oleh angka 9 dan dapat juga dibagi oleh angka 6 tanpa ada sisa.

18 : 9 = 2 è (tanpa ada sisa)

18 : 6 = 3 è (tanpa ada sisa)

Angka 2 dan 3 pada contoh diatas adalah yang disebut sebagai faktor pengali. Ketika menyamakan nilai pembagi, maka semua pembilang dan pembagi pun harus di kalikan nilainya dengan faktor pengali ini. Agar lebih mudah dalam memahami pengertian ini, sebaiknya kita fahami contoh-contoh berikut ini:

-         Berapakah hasil dari 1/2 + 5/2 ?

Karena masing-masing pembaginya mempunyai nilai yang sama, yaitu 2, maka dapat langsung dijumlahkan. Hasilnya:

-         Berapakah hasil dari 1/2 + 2/3 ?

Karena masing-masing pembaginya mempunyai nilai yang berbeda, yaitu 2 dan 3, maka kedua bilangan pecahan ini tidak dapat langsung dijumlahkan sebelum pembaginya disamakan. Nilai terkecil yang dapat dibagi dengan 2 dan 3 adalah 6, dengan demikian nilai 6 ini digunakan sebagai pembagi yang baru. Caranya adalah sebagai berikut:

Perhatikan angka 3 sebagai faktor pengali pada bilangan pecahan yang pertama. Angka 3 ini didapat dari nilai 6 dibagi pembaginya (6 : 2 = 3). Begitu juga angka 2 sebagai faktor pengali bilangan pecahan yang kedua, didapat dari nilai 6 dibagi pembaginya (6 : 3 = 2).

Pengurangan Bilangan Pecahan

Sebagaimana dalam menjumlahkan bilangan pecahan, maka dalam mengurangkan bilangan pecahan pun semua pembagi nya harus bernilai sama dahulu. Caranya sama persis sebagaimana pada penjumlahan bilangan pecahan. Contoh:

-         Berapakah hasil dari 5/2 - 1/2 ?

Karena masing-masing pembaginya mempunyai nilai yang sama, yaitu 2, maka dapat langsung dikurangkan. Hasilnya:

-         Berapakah hasil dari 2/3 - 1/2 ?

Karena masing-masing pembaginya mempunyai nilai yang berbeda, yaitu 2 dan 3, maka kedua bilangan pecahan ini tidak dapat langsung dikurangkan sebelum pembaginya disamakan. Nilai terkecil yang dapat dibagi dengan 2 dan 3 adalah 6, dengan demikian nilai 6 ini digunakan sebagai pembagi yang baru. Caranya adalah sebagai berikut:

Perkalian Bilangan Pecahan

Dalam mengalikan bilangan pecahan, maka semua pembilang dan pembaginya harus dikalikan secara searah, yaitu pembilang yang satu dikalikan dengan pembilang yang lain serta pembagi yang satu dikalikan dengan pembagi yang lain. Tidak seperti pada penjumlahan dan pengurangan, nilai pembagi tidak perlu bernilai sama dahulu. Contoh:

-         Berapakah hasil dari 1/2 x 5/2 ?

-         Berapakah hasil dari 1/2 x 2/3 x 5/2 ?

Pembagian Bilangan Pecahan

Dalam membagi bilangan pecahan, maka semua pembilang dan pembaginya harus dikalikan secara bersilangan (dibalik), yaitu pembilang yang satu dikalikan dengan pembagi yang lain serta pembagi yang satu dikalikan dengan pembilang yang lain. Contoh:

-         Berapakah hasil dari 1/2 : 5/2 ?

-         Berapakah hasil dari 1/2 : 2/3 : 5/2 ?

Gabungan Operasi Matematika pada Bilangan Pecahan

Selain ke empat operasi matematika pada bilangan pecahan diatas (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian), terdapat pula operasi matematika pada bilangan pecahan lainnya yang juga umum dilakukan, yaitu penggabungan dari keempat operasi matematika tersebut.

Contoh:

Berapakah hasil dari operasi matematika sebagai berikut:

Jawaban:

Pembulatan Terkecil pada Bilangan Pecahan

Pembulatan terkecil diperlukan untuk menyederhanakan penulisan bilangan pecahan, sehingga didapatkan nilai terkecil dari pembilang dan pembaginya. Dalam membulatkan bilangan pecahan harus menggunakan faktor pembagi, yaitu nilai yang digunakan untuk membagi pembilang dan pembagi agar didapat nilai yang paling kecil. Faktor pembagi untuk pembilang dan pembagi harus sama nilainya.

Contoh:

Berapakah pembulatan terkecil dari bilangan-bilangan pecahan berikut ini:

a.      

b.     

c.      

d.     

e.      

Jawaban:

a.      

b.       à Karena pembilang dan pembagi mempunyai nilai yang sama. Ingat, 12 : 12 = 1.

c.        à Sudah merupakan bilangan bulat pecahan yang terkecil.

d.     

e.      

Perhatikan jawaban pada no.e diatas. Karena pembilang mempunyai nilai yang lebih besar dari pembaginya, maka cara membulatkannya adalah harus mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:

1.      Carilah angka terdekat dengan angka 33 yang dapat habis dibagi dengan angka 5. Maka kita akan mendapati angka tersebut adalah angka 30.

2.      Bagilah angka 30 dengan angka 5, maka hasilnya 6. Ingat, 30 : 5 = 6.

3.      Simpan angka 6 tersebut diawal dan dipertengahan bilangan pecahan.

4.      Kemudian kurangkan angka 33 diatas dengan angka 30, maka hasilnya adalah 3. Simpanlah angka 3 ini sebagai pembilang yang baru.

5.      Untuk pembagi tidak boleh dirubah, yaitu tetap menggunakan angka 5 sebagaimana pada pembagi awal.

6.      Maka hasil dari  adalah  atau bisa juga ditulis dengan 6 3/5.

Contoh-contoh Soal dan Jawabannya

Contoh 1

Hitunglah hasil dari operasi matematika pada bilangan pecahan berikut ini:

Jawaban:

Contoh 2

Hitunglah hasil dari operasi matematika pada bilangan pecahan berikut ini:

Jawaban:

Contoh 3

Samakah masing-masing bilangan pecahan ini dengan pasangan disebelah kanannya?

a.       1/2 dan 2/4

b.      3/6 dan 521/1042

c.       3/7 dan 18/42

d.      2/4 dan 13/20

Jawaban:

a.       1/2 dan 2/4 adalah sama saja, karena 1/2 : 2/4 = 1

b.      3/6 dan 521/1042 adalah sama saja, karena 3/6 : 521/1042 = 1

c.       3/7 dan 18/42 adalah sama saja, karena 3/7 : 18/42 = 1

d.      2/4 dan 13/20 adalah tidak sama, karena 2/4 : 13/20 tidak sama dengan 1

Contoh 4

a.       Berapakah 1/2 dari 1000?

b.      Berapakah 1/3 dari 900?

c.       Berapakah 1/4 dari 1/2?

Jawaban:

a.       1/2 x 1000 = 500

b.      1/3 x 900 = 300

c.       1/4 x 1/2 = 1/8

Contoh 5

Manakah dari bilangan-bilangan pecahan ini yang paling besar nilainya?

a.       1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 2/3?

b.      10/48, 15/54, 3/18?

c.       4/30, 6/54, 3/18?

Jawaban:

Untuk mencari nilai yang terbesar diantara beberapa bilangan pecahan, maka pembagi harus disamakan dahulu pada semua bilangan pecahan tersebut. Untuk menyamakan pembagi ini, dapat menggunakan dua cara, yakni:

1.      Dengan cara menyederhanakan setiap pembilang dan pembagi dari seluruh bilangan pecahan yang ada, kemudian dicari KPK nya, yaitu nilai terkecil yang digunakan untuk mengalikan pembagi awal, sehingga didapatkan pembagi baru terkecil yang dapat dibagi oleh semua pembagi awal yang ada tanpa sisa. Cara pertama ini dilakukan jika pembagi dari bilangan pecahan tersebut nilainya kecil-kecil, sehingga lebih mudah dalam mencari nilai pembagi yang baru.

2.      Dengan cara menyederhanakan setiap pembilang dan pembagi dari seluruh bilangan pecahan yang ada, kemudian mengalikan antara pembagi satu dengan pembagi lainnya dari seluruh bilangan pecahan yang ada. Cara ini dilakukan manakala nilai pembagi besar-besar.

Marilah kita coba jawab pertanyaan-nya sebagai berikut:

a.       Berhubung nilai pembagi pada kecil-kecil, maka kita dapat menggunakan cara pertama.

= 1/2          1/3       1/4       1/6       1/8       2/3

= 12/24      8/24     6/24     4/24     3/24     16/24

=> Maka didapatkan, nilai yang terbesar adalah 2/3.

b.      = 10/48      15/54   3/18

= 5/24        5/18     1/6

=> Maka disini kita dapat menggunakan cara pertama.

= 15/72      20/72   12/72

=> Maka didapatkan, nilai yang terbesar adalah 15/54.

c.       = 4/30        6/54     3/18

= 2/15        1/9       1/6

=> Maka disini kita dapat menggunakan cara kedua.

= 108/810  90/810 135/810

=> Maka didapatkan, nilai yang terbesar adalah 3/18.